| Résumé |
Ce travail porte sur la modélisation physique des tubes acoustiques pour la simulation numérique en temps-réel, en utilisant une approche connue sous le nom des "Guides d'Ondes Numériques". Le but principal est la synthèse sonore d'instruments à vent, avec un modèle réaliste, une méthode modulaire et une implémentation numérique faible coût. Contrairement à des travaux passés qui consistent à approximer le profil original d'un tube par une fonction constante ou affine par morceaux (par une connexion de tronçons de tubes cylindriques ou coniques), le modèle acoustique utilisé dans ce travail permet une approximation du profil par une fonction continue et dérivable. Ce modèle prend en compte d'une part la "courbure" du profil, et d'autre part les "pertes visco-thermiques". Grâce à la courbure des tronçons, le tube original peut alors être modélisé par un nombre de tronçons significativement réduit. De plus le formalisme des précédents modèles est intégralement préservé. Avec l'approche des guides d'ondes, un tronçon de tube acoustique est représenté par un système bouclé, avec retard, faisant intervenir plusieurs sous-systèmes sans retard internes. Une difficulté est la présence de sous-systèmes de dimension infinie avec "dérivées fractionnaires". Nous montrons alors par le formalisme des "représentations intégrales", que de tels systèmes se comportent comme une somme infinie de systèmes du premier ou de second ordre. Pour la réalisation numérique, ses sous-systèmes de dimension infinie sont approximés par des systèmes de dimension finie et d'ordre entier, de bonne qualité et compatible avec le temps-réel. Pour améliorer la modularité du formalisme, nous avons choisi de représenter les systèmes par leur "représentations d'état". Ceci nous permet d'une part de résoudre automatiquement et explicitement des problèmes de boucles "instantanée" à la connexion de deux éléments acoustiques, et d'autres part de réduire le coût de calcul de l'implémentation numérique par des outils standard de l'automatique. L'étude de la stabilité et de la passivité est faite. Dans le cas des tronçons de tube avec courbure négative un problème de stabilité survient: même si les relations entrées/sorties du tronçon sont stables, certains sous-systèmes (de la décomposition pour les guides d'ondes) possèdent une infinité de singularités à l'origine d'instabilités internes du système. Nous présentons une compréhension de ce phénomène par un raisonnement mathématique et son explication par une interprétation physique. Alors pour la levée de ce problème, une nouvelle décomposition en sous-systèmes est faite. Cette décomposition garantit la stabilité de la réalisation, conserve les relations entrées/sorties du système global, est compatible avec une approximation faible coût, et préserve le formalisme présenté précédemment. Mots clef : Modélisation physique, Tubes acoustiques, Guides d'Ondes Numériques, Simulation temps-réel, Synthèse de signaux acoustiques, Equations d'ondes, Modèle de Webster-Lokshin, Dérivées fractionnaires, Systèmes différentiels avec retard, Stabilité et passivité des systèmes, Réseaux de Kelly-Lochbaum, Représentation d'état, Approximation, Réalisation stable, Réalisation minimale. Ce travail porte sur la modélisation physique des tubes acoustiques pour la simulation numérique en temps-réel, en utilisant une approche connue sous le nom des "Guides d'Ondes Numériques". Le but principal est la synthèse sonore d'instruments à vent, avec un modèle réaliste, une méthode modulaire et une implémentation numérique faible coût. Contrairement à des travaux passés qui consistent à approximer le profil original d'un tube par une fonction constante ou affine par morceaux (par une connexion de tronçons de tubes cylindriques ou coniques), le modèle acoustique utilisé dans ce travail permet une approximation du profil par une fonction continue et dérivable. Ce modèle prend en compte d'une part la "courbure" du profil, et d'autre part les "pertes visco-thermiques". Grâce à la courbure des tronçons, le tube original peut alors être modélisé par un nombre de tronçons significativement réduit. De plus le formalisme des précédents modèles est intégralement préservé. Avec l'approche des guides d'ondes, un tronçon de tube acoustique est représenté par un système bouclé, avec retard, faisant intervenir plusieurs sous-systèmes sans retard internes. Une difficulté est la présence de sous-systèmes de dimension infinie avec "dérivées fractionnaires". Nous montrons alors par le formalisme des "représentations intégrales", que de tels systèmes se comportent comme une somme infinie de systèmes du premier ou de second ordre. Pour la réalisation numérique, ses sous-systèmes de dimension infinie sont approximés par des systèmes de dimension finie et d'ordre entier, de bonne qualité et compatible avec le temps-réel. Pour améliorer la modularité du formalisme, nous avons choisi de représenter les systèmes par leur "représentations d'état". Ceci nous permet d'une part de résoudre automatiquement et explicitement des problèmes de boucles "instantanée" à la connexion de deux éléments acoustiques, et d'autres part de réduire le coût de calcul de l'implémentation numérique par des outils standard de l'automatique. L'étude de la stabilité et de la passivité est faite. Dans le cas des tronçons de tube avec courbure négative un problème de stabilité survient: même si les relations entrées/sorties du tronçon sont stables, certains sous-systèmes (de la décomposition pour les guides d'ondes) possèdent une infinité de singularités à l'origine d'instabilités internes du système. Nous présentons une compréhension de ce phénomène par un raisonnement mathématique et son explication par une interprétation physique. Alors pour la levée de ce problème, une nouvelle décomposition en sous-systèmes est faite. Cette décomposition garantit la stabilité de la réalisation, conserve les relations entrées/sorties du système global, est compatible avec une approximation faible coût, et préserve le formalisme présenté précédemment. |
