| Résumé |
L’application de concepts hérités de la géométrie différentielle à l’étude du comportement de systèmes dynamiques en considérant les trajectoires empruntées par ces derniers comme des géodésiques fournit des solutions générales élégantes tout en s’affranchissant des non-linéarités artificielles introduites par le paramétrage de l’espace ambient `a l’aide de systèmes de coordonnées. L’utilisation des groupes de Lie permet alors de considérer l’évolution temporelle du système en fonction des transformations subies par l’action d’un groupe. A l’aide de ce formalisme, une étude complète du problème du corps rigide en rotation a été menée tout en prenant en compte les symétries et invariances du système en introduisant l’ellipsoïde liée `a la conservation de l’énergie totale ainsi que la sphère engendrée par l’invariance du moment angulaire. L’intersection de ces surfaces fournit ainsi les solutions du problème et permettra en outre de se questionner sur la stabilité des états d’équilibre du système. Nous montrerons ensuite, en prenant exemple sur le pendule, que la prise en compte de l’énergie potentielle nécessite l’introduction de la métrique de Jacobi. Cette étape permet de pouvoir `a nouveau considérer une surface traduisant la conservation de l’énergie et déterminer alors les trajectoires du système. La mise en rotation du pendule permettra finalement de mettre en lumière un exemple simple de bifurcation non-linéaire. Afin de conclure, ce manuscrit proposera des pistes mathématiques telles que l’utilisation des connexions ou des espaces fibrés qui pourraient permettre de compléter et généraliser la méthode. Nous verrons finalement que le point du vue adopté ici semble pouvoir apporter d’intéressantes perspectives dans des domaines tels que la recherche de modes non-linéaires, la synthèse sonore ou l’interaction gestuelle homme-machine. |
