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Résumé

Le but de ce rapport, comprenant une brève réflexion sur l'utilisation musicale de l 'aléatoire, est de donner à des compositeurs une connaissance pratique de la théorie des probabilités, ainsi que des formules ou logiciels pour la génération d'événements aléatoires obéissant à diverses lois de probabilité.

Table des matières

2.1 Probabilité
2.2 Variable aléatoire
2.3 Fonction de probabilité
2.4 Fonction de répartition
2.5 Variable aléatoire discrète
2.6 Variable aléatoire continue

2.6.1 La distribution continue uniforme

2.7 Structure continue des paramètres musicaux
2.8 Canons

3.1 Distribution uniforme discrète
3.2 Méthode générale pour l'obtention de distributions discrètes
3.3 Quelques distributions discrètes

3.3.1 Choix entre deux alternatives
3.3.2 Distribution binomiale
3.3.3 Distribution de Poisson
3.3.4 Choix entre plusieurs alternatives
3.3.5 Tirages exhaustifs, permutation

4.1 Distributions uniformes
4.2 Méthode générale pour l'obtention de distributions continues
4.3 Quelques distributions continues d'obtention directe

4.3.1 Distribution linéaire
4.3.2 Distribution exponentielle
4.3.3 Distribution gamma
4.3.4 Première loi de Laplace
4.3.5 Distribution de Cauchy
4.3.6 Distribution cosinus hyperbolique
4.3.7 Distribution logistique
4.3.8 Distribution arc sinus

4.4 Deux autres distributions continues

4.4.1 Distribution de Gauss-laplace
4.4.2 Distribution beta

En 1954, Xenakis énonça deux critiques à l'encontre de la composition sérielle, qui était alors indéniablement la technique la plus répandue dans l'avant-garde : « ... le système sériel est remis en question en ses deux bases qui contiennent en germe leur destruction et leur dépassement propres » ([2], p.120).

Sa première critique est d'ordre intrinsèque, est une vue généralisante : les techniques sérielles sont un cas particulier du vaste domaine du calcul combinatoire, et, en outre, le sérialisme est demeuré engagé dans son héritage historique alors que, particulièrement par l'électroacoustique, de nouveaux horizons étaient ouverts : « Pourquoi douze et pas treize ou n sons ? Pourquoi pas la continuité du spectre des fréquences ? Du spectre des timbres ? Du spectre des intensités et des durées ? » (ibid.).

Sa seconde remarque relève une contradiction des processus sériels par rapport à leur résultat sonore : « La complexité énorme empêche à l'audition de suivre l'enchevêtrement des lignes et a comme effet macroscopique une dispersion irraisonnée et fortuite des sons sur toute l'étendue du spectre sonore » (ibid.).

Et il concluait : « L'effet macroscopique pourra donc être contrôlé par la moyenne des mouvements des n objets choisis par nous. Il en résulte l'introduction de la notion de probabilité qui implique d'ailleurs dans ce cas précis le calcul combinatoire » (ibid.). Cette conclusion est ainsi une généralisation, introduisant le concept du contrôle global d'événements sonores complexes, plutôt que leur élaboration analytique et mécanique, exactement comme, en sciences, les méthodes statistiques sont un outil de préhension globale de phénomènes analytiquement excessivement complexes ; ce qui est bien conforme à notre conception intuitive du hasard. Mais il faut ajouter d'autre part que Xenakis portait en lui-même certaines intuitions musicales de masses sonores, probablement antérieures à leur justification rationnelle ([1], pp.19-20).

Au cours d'une longue pratique des techniques sérielles, Gottfried Michael Koenig arrive à la même conclusion : « The greater the extent to which parameters adhere to certain arrangements and the greater the extent to which musical meaning is to depend on the perception of these arrangements, the more unpredictaable, « random », are the effects of one parameter on the other : the various characteristics coalesce to « sounds » whose order is unequivocally defined neither by the course of an individual parameter nor by the polyphony of all of them » ([4], p.22). L'idéal de la composition systématique -- « un formalisme décrivant complètement, dans [les] deux directions [des événements passés et futurs], chaque instant de l'oeuvre » ([4], p.9) -- se déjoue lui-même.

Techniquement, d'ailleurs, les déterminismes complexes débouchent sur un excès de possibilités, un labyrinthe d'ambiguïtés. D'où, par exemple, chez Koenig, les concepts de forme potentielle et de forme effective (actual form) : une pièce ne réalise pas nécessairement toutes les virtualités offertes par un système, mais elles sont disponibles : au compositeur de choisir (cf. [4], pp.65-66).

Lorsque le compositeur ne souhaite pas choisir jusqu'au bout, il en arrive à ce que les compositeurs sériels ont expérimenté sous le vocable d'aléatoire, négotiant un compromis entre leur conception de la composition musicale et les idées de Cage : soit au niveau de certaines sections d'une pièce, où il fournit simplement un matériau de base, sur lequel une solution ad hoc devra être improvisée, soit au niveau de la macrostructure, où il laisse le choix de parcours, parmi certains modules musicaux précomposés. En tous cas, la question fondamentale du choix n'est que différée, mais l'on gagne sur le plan de la généralité de l'oeuvre, de la combinaison attrayante de perspectives variées sur le paysage sonore (Murray Schafer) accessible à la pièce.

Mais cet aléatoire n'est pas du même ordre que l'aléatoire en tant que principe métaphysique, que technique impersonnelle destinée à laisser les sons et les silences être, tout simplement, que Cage pratiquait déjà auparavant (cf. [6]) .

Pour ainsi dire, Cage souhaite affranchir les sons de la musique et des musiciens, tandis que Xenakis « s'inscrit volontairement non dans la tradition, mais dans l'histoire de son art » ([7], p.9-35). Une fois acquis les concepts de paramètres musicaux (hérité de Webern) et de leur indépendance (cf.[8], p. 17), généralisés par l'intermédiare de Messiaen, l'utilisation de la théorie des probabilités est une technique apte à concilier la recherche de nouvelles sonorités, masses sonores, etc., entreprise par la musique sérielle, l'indépendance des paramètres et la volonté -- toujours présente -- du compositeur « classique » de dominer personnellement son oeuvre : « ... la seule issue qui respecte à la fois la liberté totale de chaque élément et la prévisibilité globale » ([7], p. 237).

Mais la musique stochastique est plus qu'une solution technique ; elle est le fruit d'une longue tradition rationaliste. En effet, la théorie des probabilités est un formalisme mathématique basé sur une question fondamentale : que peut-il se produire dans notre univers, dans telle ou telle situation ? Étant donnés certains postulats (homogénéité ou non, différentes notions de moyennes, etc.), la théorie des probabilités offre des outils de choix adaptés aux hypothèses de départ -- et même déduits d'elles ; et dans le choix réside notre conception de la création artistique.

Dans les pages qui suivent, vous trouverez des méthodes de génération de variables aléatoires, qui ne sont pas nouvelles, originales ou exclusives en elles-mêmes : vous pouvez en consulter d'autres, par exemple, dans [11] ou [12], renvoyant eux-mêmes à une bibliographie considérable. Mais ce rapport devrait posséder au moins le mérite d'avoir été rédigé par un musicien, avec des intentions musicales, finalement, et de rassembler une panoplie à cet effet.

Mon intention est de donner à des musiciens encore moins mathématiciens que moi, des moyens utiles pour atteindre des buts qu'ils recherchent probablement, et particulièrement de soustraire tant d'applications compositionnelles de l'informatique à l'utilisation indigente et sempiternelle de valeurs aléatoires tirées directement de cette omnipotente « boîte noire » des ordinateurs : le générateur aléatoire à distribution continue uniforme.

2. Définitions préliminaires

(a)

Dans des cas simples, les probabilités sont assez faciles à évaluer. Par exemple, la probabilité d'obtenir un nombre impair lors du jet d'un dé est 3/6 (l'événement comprend trois résultats sur un total de six possibilités). Mais si l'on joue avec deux dés, il faut déjà réfléchir... Voici un problème fameux (Les boîtes d'allumettes de Banach, [22a], p.166) : un fumeur possède deux boîtes de N allumettes chacune ; lorsqu'il allume sa pipe, il choisit une boîte au hasard ; lorsqu'il retirera la dernière allumette de l'une des boîtes, quelle est la probabilité que l'autre en contienne encore x ?... Il est souvent nécessaire de recourir à des calculs combinatoires assez complexes, simplement pour estimer « de combien de façons l'événement peut se produire », et pour déterminer « combien d'événements comporte l'ensemble fondamental ».

Cette approche intuitive de la probabilité suffira pour notre propos, et sera complétée au besoin. Sauf à titre d'exemples illustrant quelques notions de base, nous ne traiterons pas ici de situations ou de mécanismes réels ; nous allons plutôt décrire des algorithmes -- des machines imaginaires -- se conformant à certains schèmes classiques de la théorie des probabilités. Pour prendre connaissance de définitions complètes et formalisées de la probabilité et de l'analyse combinatoire, reportez-vous à [21], chapitres 1 et 2, ou à [22a], chapitres 1 et 2. Des introductions simples à la théorie des probabilités peuvent être consultées dans des manuels scolaires ; [20] est très clair et complet.

2.2 Variable aléatoire

Des définitions de la probabilité et de la variable aléatoire, il découle que la somme des probabilités de toutes les valeurs éventuellesd'une variable aléatoire égale 1 : pour s couvrant l'ensemble des valeurs possibles de X,

(b)

Nous pouvons à tout le moins utiliser cette terminologie dans des énoncés comme

Encore une fois, ce concept de fonction de répartition peut sembler superflu, mais il s'avérera fondamental pour nos algorithmes. Une fonction de répartition peut être représentée par un graphe : pour l'exemple de l'urne, la figure 2 illustre clairement la définition cumulative de F(x).

2.5 Variable aléatoire discrète

Pour explorer la théorie complète des variables aléatoires discrètes, voyez [22a] ou les chapitres adéquats de [21]. [19] constitue une excellente introduction aux probabilités discrètes, et facilement lisible. Les manuels scolaires se limitent souvent aux variables discrètes.

2.6 Variable aléatoire continue

Dans le cas de variables discrètes, l'équation (c) (2.3, ci-dessus) énonçait que la somme des probabilités de tous les événements de l'ensemble fondamental E doit égaler 1. Graphiquement, cela signifie que la somme des « bâtons » de l'histogramme doit correspondre à une unité de l'échelle verticale du graphe. Dans le cas de variables continues, c'est la surface délimitée par la fonction de probabilité et l'axe horizontal qui doit égaler 1. Cela peut être saisi intuitivement si l'on imagine cette surface comme remplie d'une infinité de « bâtons » verticaux correspondant à l'infinité des valeurs réelles que peut assumer la variable aléatoire : voyez la surface hachurée de la figure 4. Ainsi, lorsque l'on passe des variables discrètes aux variables continues, on substitue l'intégrale de l'équation (e) à la somme de l'équation (c) :

(e)

Dans le cas de variables discrètes cependant, la probabilité des événements correspond bien sur l'histogramme à des « bâtons » de hauteur appropriée (figure 1). Mais pour des variables continues, à cause de l'infinité des valeurs éventuelles, il nous faut renoncer à l'idée d'une probabilité associée à un événement précis ; en effet, cette probabilité serait zéro :

">

">

Pour vous initier au calcul différentiel et intégral, et vous familiariser avec ces transitions du domaine discontinu à la continuité, vous pouvez consulter [23] avec profit, ou [24] pour un exposé historique et philosophique. [22b] et [21] exposent une théorie complète des variables aléatoires continues.

Il nous reste cependant à étudier un exemple qui sera d'importance primordiale pour notre propos.

2.6.1 La distribution continue uniforme

Par ces opérations, l'on pourrait arriver à ordonner totalement les sensations de hauteur, puisque l'on serait en mesure d'évaluer la taille relative et le sens de différences entre tout couple de hauteurs. De surcroît, l'on pourrait définir axiomatiquement des échelles tempérées de hauteurs, à partir seulement d'une hauteur de référence fixe et d'une différence unitaire quelconque, ainsi que l'a souligné Xenakis d'après l'axiomatique des nombres de Peano ([2], p.61).

Bien entendu, les musiciens prennent pour acquise cette structure totalement ordonnée des hauteurs, et ils ont conquis depuis longtemps une remarquable faculté de manipulation des intervalles de hauteur. Si l'on définit ainsi l'« addition » de deux intervalles (symbolisée par ) : « faire coïncider à la même hauteur le point d'arrivée du premier et le point de départ du second », et si l'on considère le résultat de cette opération comme étant l'intervalle allant du point de départ du premier au point d'arrivée du second, on peut démontrer que, avec cette opération musicale banale, les intervalles de hauteur possèdent la structure mathématique d'un groupe commutatif (cf. [25], chapitres 1 et 2, pour des définitions de groupes) ; en effet, les cinq conditions requises sont réalisées :

1. stabilité : l'addition de tout couple d'intervalles donne comme résultat un troisième intervalle ;
2. associativité : pour n'importe quels intervalle d_i,

3. il existe un élément identité I (l'intervalle de prime, ou unisson) tel que

4. tout intervalle possède un inverse d^-1 (l'intervalle de même taille mais de sens opposé) tel que

5. la commutativité est donnée de surcroît :

Si l'on quitte le domaine de la perception pour celui des stimuli physiques, si l'on parle en termes de fréquence au lieu de hauteur, l'extension aux nombres réels est également vraisemblable. Les échelles non-tempérées sont édifiées dans un groupe de rapports rationnels avec la multiplication comme opération, et les gammes tempérées peuvent être considérées comme utilisant des rapports irrationnels -- impliquant par exemple des racines de deux si elles possèdent un modulo d'octave -- ; de là aussi, l'extension aux nombres réels découle aisément.

On comble ainsi graduellement les intervalles séparant les entiers et les rationnels, pour atteindre la continuité : « Il suit de la division actuelle que, dans une partie de la matière, si petite qu'elle soit, il y a comme un monde consistant en créatures innombrables » (Leibnitz, cité dans [24], p.55). Par la subdivision spéculative, on atteint des intervalles plus fins que notre seuil de différentiation, s'évanouissant dans la continuité. Mais peut-être, paradoxalement, peut-on considérer aussi bien la continuité comme donnée, et voir dans les échelles traditionnelles des systèmes de points de repère jalonnés empiriquement afin de satisfaire nos besoins de techniques opératoires et de hiérarchies, de normes comparatives « ... un ensemble continu n'est pas le résultat des parties en lesquelles il est divisible, mais il en est au contraire indépendant, et, par suite, le fait qu'il nous est donné comme tout n'implique nullement l'existence actuelle de ces parties » ([24], p.60).

En tous cas, on peut prétendre que les intervalles, et les hauteurs elles-mêmes en tant qu'incarnations d'intervalles, sont isomorphes aux nombres réels, et donc à une droite isomorphe à ces derniers : ce paramètre musical est totalement ordonné et théoriquement continu. D'autres paramètres possèdent la même structure -- intensités, densités, etc. L'on doit cependant excepter les paramètres de définition qualitative, bien entendu, tel le timbre. Mais peut-être pourra-t-on éventuellement, par la synthèse numérique-analogique, réduire cette qualité complexe appelée « timbre » à une série de paramètres quantifiables -- et dès à présent, certaines échelles restreintes de timbres sont concevables. Le temps lui-même, le temps métrique, de par les opérations mentales auxquelles nous pouvons le soumettre, révèle cette même structure profondément enracinée dans notre fonctionnement psychique, ainsi que l'a montré Piaget ([9], chapitre Il §5 particulièrement, où est développée la notion de « groupement » logique, pp.74-83). Léonard de Vinci avait saisi une grande part de tout cela dans une note datant d'environ 1500, que je cite volontiers. « Le point, si on lui applique les termes réservés au temps, se doit comparer à l'instant, et la ligne à la longueur d'une grande durée de temps. Et tout comme les points constituent le commencement et la fin de ladite ligne, ainsi les instants forment le principe et le terme d'une certaine portion de temps donné. Et si une ligne est divisible à l'infini, il n'est pas impossible qu'une portion de temps le soit aussi. Et si les parties divisées de la ligne peuvent offrir une certaine proportion entre elles, il en est de même pour les parties du temps » (Carnets, E. Mac Curdy et L. Servicen , vol. I, Paris, Gallimard, 1942, p. 76).

Ces justifications peuvent aujourd'hui sembler superflues, mais il n'en est pas ainsi depuis longtemps dans notre tradition musicale. Pensez, par exemple, en 1916, aux explications très laborieuses de Russolo sur ses instruments (intonarumori) capables d"un système enharmonique complet où chaque ton a toutes les mutations possibles en se subdivisant en un nombre indéfini de fractions ([10], p .83, c'est moi qui souligne) ; il introduit finalement, à propos de questions de notation, une notion assez vague de continuité dynamique (ibid., p. 87) -- c'est à dire continuité de hauteur. Ce n'est que relativement récemment que de telles notions ont été effectivement adoptées par la pratique musicale, et elles sont peut-être maintenant définitivement acquises.

Dans les pages qui suivent, nous nous tiendrons donc sur le terrain, musicalement assez abstrait, du groupe des nombres réels avec l'addition comme loi de composition -- puisque nous n'aurons pas de raison de nous aventurer hors du domaine perceptif. Mais, étant établie la correspondance avec les paramètres musicaux, ou caractéristique sonores, la musique sera toujours virtuellement présente, et les applications pratiques seront de préférence laissées à votre propre imagination.

2.8 Canons

Mais rien ne garantit que notre population synthétique, qui sera composée d'un nombre limité de valeurs aléatoires, s'ajustera avec précision et élégance à l'histogramme désiré, et l'incarnera d'une manière idéale. Des valeurs aléatoires sont aléatoires, quoiqu'il en soit, et ne suivent pas nécessairement avec docilité les intentions de notre imagination. La conformité d'une population à une distribution de probabilité donnée ne peut se réaliser que pour un très grand nombre de valeurs échantillons. Ce principe est établi sous le nom de loi faible des grands nombres : « Si dans une épreuve [...] la probabilité d'un événement [...] est p, et si l'on répète l'épreuve un grand nombre de fois dans des conditions identiques [...], le rapport entre le nombre de fois que se produit l'événement et le nombre total d'épreuves -- c'est à dire la fréquence f de l'événement -- tend à se rapprocher de plus en plus de la probabilité p. Plus précisément, si le nombre d'épreuves est suffisamment grand, il devient tout à fait improbable que l'écart entre f et p dépasse une valeur quelconque, si petite soit-elle, donnée à l'avance » ([18], pp.28-29).

Ainsi, il faut être prêt à accepter des valeurs, ou des successions de valeurs aléatoires « étranges », ou peut-être à choisir, parmi quelques populations, celle qui incarne le plus fidèlement notre Idée platonicienne de la distribution. « This brings up a philosophical point. Do we really want genuine random numbers, or do we want a set of homogenized, guaranteed, and certified numbers whose effect is random but at the same time we do not run the risk of the fluctuations of a truly random source ? We usually find that we want to get the security of a large number of eamples by taking [as few] as we can » [13] p.143).

Dans la suite de ce rapport, nous allons appliquer toutes ces notions en continuant d'utiliser le même symbolisme :

• X est une variable aléatoire (tour à tour chacune de celles que nous étudierons),
• x représente des valeurs de X,
• x_s est une valeur spécifique de X,
• U est la variable continue uniforme (nombres aléatoires équiprobables dans l'intervalle [0,1]),
• u représente des valeurs de U,
• u_s est une valeur spécifique de U, représentant concrètement un appel au canon U dans un énoncé de programme tel que u_s=RAN(0),
• f(x) est la fonction de probabilité de X,
• P{X=x_s}=f(x_s) dans les cas discrets, est la probabilité que X prenne la valeur x_s,
• P{X=x_s}=f(x_s)dx dans les cas continus, est la probabilité que X prenne une valeur dans l'intervalle dx autour de x_s,
• F(x) est la fonction de répartition de X,
• \array {\arrayopts{\align{center}} }"> est la probabilité que X prenne une valeur plus petite ou égale à x_s dans les cas discrets, et
• }"> dans les cas continus.

Lorsqu'un canon consiste en l'application d'une unique formule, seule cette dernière sera donnée. Lorsque des algorithmes complets seront nécessaires, ils seront donnés en FORTRAN -- un langage de procédures explicites très répandu ou aisément traduisible.

3 Lois de probabilité discrètes

Afin de choisir un événement, l'on pourrait utiliser la méthode générale décrite ci-dessous pour d'autres variables aléatoires discrètes, mais, toutes les probabilités étant ici égales, le cas est simple, et l'on peut faire directement de X une fonction linéaire de U :

L'algorithme suivant effectue cette tâche :

FUNCTION INRECT(J1,J2)
U=RAN(0)
N=J2-J1+1
X=N*U+J1
INRECT=IFIX(X)
RETURN
END

.........................................

ZNEUF=ZVIEUX+(XSIGNE(0)*appel à un canon),

FUNCTION XSIGNE(IBIDON)
XSIGNE=-1.0
U=RAN(0)
IF(U.LT.0.5) XSIGNE=l.0
RETURN
END

pour x=0, 1, 2, ..., n, et où
c'est-à-dire le nombre de combinaisons sans répétition de x éléments choisis parmi n (cf.2 .1, ci-dessus, pour des références sur l'analyse combinatoire).

Il n'est peut-être pas nécessaire de mettre au point un canon binomial, puisque l'on peut saisir ce problème par des choix directs, sans avoir recours à la distribution analytique. Si l'on avait besoin d'un tel algorithme, il serait semblable à celui de la distribution de Poisson (3 .3 .3, ci-dessous) : préparation, d'abord, d'une table cumulative F(x) au moyen de la formule ci-dessus, puis recours à un u_s pour désigner le x_s résultant. L'on aurait alors décidé, par exemple, que parmi les n prochains événements, il y aurait x_s succès, et bien entendu n-x_s occurrences de l'autre alternative. Il serait aussi possible d'utiliser le canon de Poisson directement, puisque cette dernière distribution constitue, dans certaines conditions, une approximation de la distribution binomiale (voir 3 .3 .3, ci-dessous). Un histogramme de la variable aléatoire B(50,5%) est représenté à la figure 10.

Lorsque n devient grand et que p n'est pas petit, de telle sorte que les produits np et n(1-p) sont quelque peu supérieurs à 15 ou 20 -- avec de meilleures approximations si p est proche de 0.5 --, on peut démontrer que la distribution binomiale équivaut assez bien à une distribution de Gauss-Laplace (voir 4 .4 .1, ci-dessous) de moyenne np et d'écart type ([21], pp. 310-316, et [22a], chapitre VII). Dans de tels cas, l'on pourrait utiliser encore plus aisément la canon Gauss-Laplace décrit ci-dessous, et arrondir le résultat à l'entier le plus proche.

Vous trouverez dans [21], pp.445-449, d'intéressantes comparaisons graphiques entre des histogrammes des lois binomiale et de Gauss-Laplace. Une bonne introduction à cette famille de distributions -- binomiale, Gauss-Laplace et Poisson -- peut être consultée dans [18], chapitre III. Traitant exclusivement de variables aléatoires discrètes, [19] approche aussi la distribution de Gauss-Laplace à travers la binomiale.

3.3.3 Distribution de Poisson

Quoi qu'il en soit, la distribution de Poisson incarne bien, comme la binomiale, un point de vue analytique sur une série de tirages bernoulliens : elle décrit la probabilité d'obtenir x succès dans un grand nombre de tirages, lorsque la densité moyenne de succès est

pour x=0, 1, 2,... .

Remarquez que n, le nombre de tirages, est absent de la formule. La figure 11 montre un histogramme de la distribution de Poisson de densité 2.5.

Nous présentons un algorithme pour cette distribution parce qu'elle a acquis une certaine notoriété par l'usage qu'en a fait Xenakis ([1], pp.35sq.) en tant qu'approche analytique de phénomènes se déroulant dans le temps : dans de tels cas, la distribution de Poisson concerne la probabilité de trouver x points par unité de temps sur un axe chronologique, lorsque la densité moyenne de points par unité est (suffisamment petite), et lorsque la distribution de ces points se conforme à une distribution exponentielle homogène (voir 4 .3 .2, ci-dessous). Tout se passe comme si, d'un point de vue binomial, l'on considérait le temps comme une succession de très courts intervalles : un succès serait alors la présence d'un point occupant un intervalle. Notre famille binomiale-Gauss-Laplace-Poisson, comportant aussi une distribution binomiale négative que nous n'étudierons pas ici (cf.[21], pp.321sq., et [22a], pp.164sq.), se trouve donc de surcroît en relation avec les distributions gamma (4 .3 .3, ci-dessous), dont l'exponentielle est un cas particulier (cf. [21], pp.332-337 et 354-356, ou [22b], pp.11-15 et passim) : « ...the remarkable fact that there exist a few distributions of great universality which occur in a surprisingly great variety of problems. The three principal distributions, with ramifications throughout probability theory, are the binomial distribution, the [Gauss-Laplace] distribution [...], and the Poisson distribution » ([22a], p.156).

L'algorithme suivant est conçu pour gérer plusieurs distributions de Poisson de paramètres indépendants.

	SUBROUTINE POINIT(I,N,D,TAB,ITOT,NMAX)
	DIMENSION TAB(ITOT,NMAX)
	XKFAC=1 .0
	DO 30 J=1 ,N-1
	XK=FLOAT(J-1)
	IF(XK.LE.1 .0) GOTO 20
	XKF AC=XKF AC*XK
20	VAL=((D**XK)/XKF AC) *EXP(-D)
	IF(XK .EQ.0 .0) GOTO 25
	TAB(I,J)=TAB( I,J-I)+VAL
	GOTO 30
25 	TAB(I,1)=VAL
30	CONTINUE
	TAB(I ,N)=1 .0
	RETURN
	ENTRY POISSO(I ,N, NBR,TAB,ITOT,NMAX)
	U=RAN(0)
	DO 1 J=1 ,N
	IF(U.LT.TAB(I ,J)) GOTO 2
1	CONTINUE
2	NBR=J-1
	RETURN
	END

Un appel à POINIT comprend les paramètres suivants :

• I : le numéro de référence de la distribution de densité
• N( NMAX) : la longueur effectivement utilisée du vecteur de TAB, pour la i-ème densité, de sorte que P{X=N} soit négligeable, comme ci-dessus,
• D : la densité moyenne
• TAB : le nom du vecteur déclaré dans le programme appelant,
• ITOT : le nombre de distributions utilisées en tout et pour tout, et
• NMAX : la longueur du plus long des vecteurs de TAB (voir ci-dessus)

Cette étape préliminaire étant exécutée, les appels destinés à obtenir effectivement des valeurs aléatoires doivent utiliser l'ENTRY POISSO(I,N,NBR,TAB,ITOT,NMAX). L'algorithme se procure alors un u_s en appelant RAN(0), et l'utilise pour dèsigner un x_s. Un paramètre particulier est inclus dans l'appel :

NBR, qui transmet x_s, le résultat --« Il y aura NBR événements »

Tous les autres paramètres sont comme ci-dessus.

3.3.4 Choix entre plusieurs alternatives

La distribution multinomiale constitue une approche analytique de ce problème ([21], pp.337sq., et [22a], pp.167sq.). Un algorithme multinomial serait très lourd, puisqu'il devrait manipuler des vecteurs entiers d'événements : sur n tirages, il devrait y avoir x_s1 événements x₁, x_s2 événements x₂, etc... Cette méthode se révélerait passablement inefficace, comparée à la simplicité de la synthèse directe des événements.

3.3.5 Tirages exhaustifs, permutation

Il existe une approche analytique de ce problème : la distribution hypergéométrique ([21], pp.316sq., et [22a], pp.43-47), qui serait cependant peu utile ici. Une méthode synthétique pourrait consister à modifier l'algorithme ALTERN, ci-dessus, de manière à ce qu'il ajuste la liste PROB de probabilités après chacun des tirages, ou de confier cette tâche au programme appelant. Mais puisque vraisemblablement l'ensemble fondamental sera d'un nombre restreint d'événements, il est plus pratique d'utiliser l'algorithme de permutation ci-dessous (tiré de [5], pp.70-73), en considérant le vecteur permuté, item par item, comme une série de tirages exhaustifs.

	SUBROUTINE PERMUT(LENSMB,ITRAV,N,IOPT)
	DIMENSION LENSMB(N),ITRAV(2,N)
	IC=N
	DO 1 I=1 ,N
	ITRAV(1,I)=I
1	CONTINUE
2	IX=INRECT(1,IC)
	IR=ITRAV(1,IX)
	ITRAV(2,IC)=LENSMB(IR)
	ITRAV(1,IX)=ITRAV(1,IC)
	IC=IC-l
	IF(IC.EQ.0) GOTO 3
	GOTO 2
3	IF(IOPT.NE.1) RETURN
	DO 4 I=1,N
	LENSMB(I)=ITRAV(2,I)
4	CONTINUE
	RETURN
	END

• LENSMB est le nom du vecteur contenant l'ensemble à permuter,
• ITRAV est une table de travail,
• N est la dimension de LENSMB et la seconde dimension de ITRAV,
• IOPT est un commutateur:
  • IOPT=1 ==> la permutation est transmise au programme appelant dans LENSMB : c'est-à-dire que LENSMB est modifié,
  • IOPT 1 ==> LENSMB n'est pas modifié, et le programme appelant trouvera les événements permutés seulement dans ITRAV(2, J).

La disponibilité d'un canon U typique est considérée comme acquise ; si ce n'est pas le cas, il est toujours possible d'en programmer un, moyennant certaines connaissances, ou de s'en procurer un dans la littérature. Les algorithmes de canons U sont étudiés d'un point de vue général dans [13], pp.136-142, [11], pp.1-100, et [12], chapitre 2. Des exemples pratiques peuvent être consultés dans [14], p.77 (pour des mots de trente-deux bits), ou dans [5], p.69 (similaire au précédent, mais pour des mots de vingt-sept (sic) bits). Un algorithme FORTRAN complet, dont l'efficacité ne dépend pas des spécificités de l'ordinateur employé, est présenté dans [15]. L'on doit être conscient du fait que le canon U, deus ex machina par excellence de toute application stochastique, mérite qu'on lui accorde les plus grands soins. Particulièrement dans les cas où l'on fait une grande consommation de nombres aléatoires, seuls des algorithmes fiables et éprouvés devraient mériter notre confiance, afin que l'entreprise soit conséquente.

Conformément au concept même d'algorithme, il est remarquable que ces générateurs aléatoires sont rigoureusement déterministes ; chaque nombre « aléatoire » est élaboré au moyen de manipulations effectuées sur le nombre « aléatoire » précédent, ce qui leur vaut à bon droit l'appellation de pseudo-aléatoires :

Afin d'obtenir une distribution uniforme dans un intervalle autre que [0,1] on utilisera une fonction linéaire de U, exactement comme dans l'algorithme INRECT (3 .1, ci -dessus), mais cette fois sans tronquer le résultat : l'équation

On peut égaliser la fonction de répartition de U ((g), 2 .6 .1, ci-dessus),

Ce procédé peut être saisi intuitivement comme l'utilisation du u_s dans l'intervalle [0,1] pour désigner une fraction de la surface sous la fonction de probabilité désirée ; on déduit ensuite à quel x_s correspond cette fraction de surface (cf. figure 4) : il s'agit simplement d'une application plus générale, continue, de la méthode discrète exposée ci-dessus (3. 2).

Toutefois, certaines distributions de probabilité possèdent une fonction de répartition F(x) qui ne peut être simplifiée (intégrée) afin de subir cette inversion algébrique. De tels cas appellent des algorithmes spéciaux : nous en étudierons deux dans la section 4. 4, ci-dessous.

4.3 Quelques distributions continues d'obtention directe

Le canon se prépare ainsi :

La distribution exponentielle de densité moyenne (intervalle moyen = ) est

On ne peut arriver à une formule permettant l'obtention directe de variables aléatoires gamma pour toutes valeurs réelles de v. Si nécessaire, un algorithme capable de cette performance est décrit dans [17], pp.13-15 ; mais il n'est pas si simple... En lui-même, il requiert le canon gamma restreint à des v entiers, décrit ci-dessous, plus un canon beta (cf. 4 .4 .2). Autrement, un algorithme d'approximation, analogue au premier canon beta exposé en 4 .4 .2, serait nécessaire.

Mais l'on peut démontrer l'égalité suivante pour des variables aléatoires gamma indépendantes de paramètres v et w ([21], pp.200-201) :

La formule-canon pour la variable , (exponentielle, avec =1) étant

	FUNCTION GAMMA(NU)
	SOM=1 .0
	DO 1 N=1 ,NU
	SOM=SOM*RAN(0)
1	CONTINUE
	GAMMA=-ALOG(SOM)
	RETURN
	END

La fonction de répartition est

	FUNCTION PLAPLA(XMU,TAU)
	Y=RAN(0)*2.0
	IF(Y.GT.1.0) GOTO 1
	PLAPLA=(TAU*ALOG(Y))+XMU
	RETURN
1	Y=2.0-Y
	PLAPLA=(-TAU*ALOG(Y))+XMU
	RETURN
	END

Dotée d'un paramètre réglant la dispersion de la variable aléatoire, la distribution de Cauchy est

Une version modifiée de la distribution de Cauchy sera générée si le paramètre d'appel IOPT, de l'algorithme ci-dessous, est égal à 1 : seules des valeurs positives seront produites, conformes en fait à la distribution suivante :

	FUNCTION CAUCHY(TAU,IOPT)
	DATA PI/3.141592654/
	U=RAN(0)
	IF(IOPT.EQ.1) U=U/2.0
	U=PI*U
	CAUCHY=T*(SIN(U)/COS(U))
	RETURN
	END

La fonction de répartition ([22b], p.52) est

L'importance théorique de la distribution normale a déjà été signalée (3. 3. 3). C'est la distribution classique, en forme de « cloche », représentée à la figure 3. Statistiquement, elle rend compte d'un grand nombre de phénomènes, à cause de ses bases et de son rôle théorique très fondamentaux, ce qui justifie bien son « allure naturelle » : elle présente des probabilités relativement fortes pour la moyenne, et près de la moyenne, un mode arrondi, une moelleuse atténuation des probabilités de valeurs disparates par rapport à la moyenne, etc. La figure 20 illustre certaines caractéristiques de cette distribution très importante. Notez, par exemple, que la probabilité de valeurs hors de l'intervalle est , et hors de est inférieure à 0.003. Des tables de valeurs de f(x) et F(x) sont annexées à tout ouvrage respectable sur les probabilités.

En dépit de sa grande noblesse, nous sommes libres d'utiliser la distribution de Gauss-Laplace en toute liberté. Par exemple, Xenakis l'a utilisée pour des durées ([1], p.174) et pour ses fameuses textures de glissandi (Pithoprakta 1955-56, en particulier, cf. [1], pp.27sq., etc. et [7], pp.243sq.) par analogie avec la distribution de Maxwell-Boltzmann, rendant compte des vitesses tridimensionnelles de molécules dans un gaz (voir aussi [22b], pp.29-32).

À cause de certaines propriétés mathématiques (il est impossible d'extraire l'ntégrale de F(x), pour ainsi dire), il n'existe pas de formule-canon simple pour la distribution de Gauss-Laplace, et l'on doit recourir à des approximations. L'algorithme décrit ici est esquissé dans [13], p.143, et développé dans [14], p.77. Il est basé sur la formule suivante, déduite du théorème central limite (cf. [20], pp. 91-92, par exemple, où ce théorème est énoncé sous une forme similaire à cette formule) :  :

	FUNCTION GAUSS(XMU,SIGMA)
	S=0.0
	DO 1 I=1, 12
	S=S+RAN(0)
1	CONTINUE
	GAUSS=((S-6.0)*SIGMA)+XMU
	RETURN
	END

Pour a=b=0.5, on obtient une distribution arc sinus (cf. 4. 3. 8).

Pour mettre un canon au point, nous utiliserons une table de F(x). L'algorithme suivant peut gérer plusieurs distributions beta de couples de paramètres (a, b) différents ; pour le i-ème couple (a,b)_i, on y prépare une table d'approximations de F(x), x croissant en vingt pas de 0.05 entre 0 et 1 :

pour (a, b)_i.

Les appels destinés à obtenir effectivement une valeur aléatoire doivent utiliser l'ENTRY BETA. De façon analogue au cas de la distribution discrète de Poisson, on utilise alors un u_s comme pointeur « tombant » quelque part entre deux valeurs de la table de F(x) ; une interpolation linéaire simule ensuite la continuité.

	SUBROUTINE BEINIT(NORDR,XA,XB,TABL,NTOT)
	DIMENSION TABL(NTOT,21)
	DATA DX/12SE-6/
	AB=XA+XB
	SBETA=FGAMMA(AB)/(FGAMMA(XA)*FGAMMA(XB))
	TABL(NORDR,1)=0.0
	SOM=0.0
	X=-625E-7
	A=XA-1.0
	B=XB-1.0
	DO 30 I=2,20
	DO 20 J=1,400
	X=X+DX
	PX=(X**A)*((1.0-X)**B)*SBETA
	SOM=SOM+(PX*DX)
20	CONTINUE
	TABL(NORDR,I)=SOM
30	CONTINUE
	TABL(NORDR,21)=1.0
	RETURN
	ENTRY BETA(NORDR,XX,TABL.NTOT)
	U=RAN(0)
	DO 5O K=2,21
	IF(U.LT.TABL(NORDR,K)) GOTO 55
50	CONTINUE
55 	Z=TABL(NORDR, (K-1))
	DS=U-Z
	DB=TABL(NORDR, K)- Z
	XX=0.05*((DS/DB)+(K-2)
	RETURN
	END

• NORDR : le numéro de référence de la distribution de paramètres (a, b) _NORDR,
• XA, XB : le couple de paramètres,
• TABL : le nom de la table (NTOT,21) déclarée dans le programme appelant, et
• NTOT : le nombre de distributions utilisées en tout et pour tout.

• NORDR, TABL, NTOT, comme ci-dessus, et
• XX renvoie le nombre aléatoire généré : x_s.

	FUNCTION FGAMMA(Z)
	DIMENSION C(7)
	DATA C/-57710166E-8, 98585399E-8,
1	-87642182E-8, 8328212E-7, -5684729E-7,
1	25482049E-8, -514993E-7/
	X=Z
	IFL=0
	IF(X.LT.1.0) GOTO 1
	X=X-1.0
	IFL=1
1	R=1.0
	DO 2 I=1,7
	R=R+(C(I)*(X**I))
2	CONTINUE
	FGAMMA=R
	IF(IFL.EQ.0) FGAMMA=R/X
	RETURN
	END

	FUNCTION BETA (A,B)
	EA=1.0/A
	EB=1.0/B
1	Y1=RAN(0)**EA
	Y2=RAN(0)**EB
	S=Yl+Y2
	IF(S.GT.I.0) GOTO 1
	BETA=Y1/S
	RETURN
	END

Les variables aléatoires générées par la distribution gamma -- y incluse l'exponentielle -- et la distribution linéaire, peuvent être utilisées pour des intervalles séparant des points dans le temps, par exemple. Encore une fois, chaque distribution affirme une personnalité.

Afin de rendre la comparaison probante, toutes les séquences d'intervalles aléatoires de temps devraient être ajustées à la même moyenne : nous choisissons arbitrairement e=2.71928... points par seconde. La moyenne de la distribution linéaire, de paramètre g, est g/3. En faisant g= 3/e l'on produira l'intervalle moyen 1/e, c'est-à-dire e points par seconde. Le canon exponentiel, pour sa part, sera directement appelé avec Pour ce qui est de la distribution gamma, l'on sait que la moyenne d'une variable est v ; afin de régler cette moyenne à 1/e, l'on doit faire

La figure 23, de (b) à (f) , fait voir cette comparaison. Chaque rectangle de la figure représente quarante unités de temps, réparties sur trois lignes, et la densité moyenne de points par unité est chaque fois très proche de e (moins de 2% de différance). De (b) à , l'accroissement de symétrie est évident. La distribution linéaire (a) produit un effet en quelque sorte intermédiaire entre la et la Pour le plaisir de la comparaison, le rectangle (g) montre une distribution de Cauchy d'intervalles (obtenue avec IOPT=1 dans l'algorithme de 4 .3 .5) qui ont été ajustés a posteriori à la même moyenne de e points par unité : l'irrégularité de cette distribution semble relever véritablement d'un imprévisible totalement « inhumain », et il n'est pas de romantique tentative de la dompter avec un paramètre de dispersion qui puisse surmonter le fait mathématique qu'elle n'a pas de moyenne prévisible. Ce rectangle (g) de la figure 23 a été choisi à titre d'illustration d'une espèce d'asymétrie maximale acceptable ; il serait difficile d'en permettre d'avantage dans un tel contexte.

De même, dans des applications rythmiques, la distribution beta, y comprise la distribution continue uniforme comme étant le cas particulier , peut faire l'effet d'une progression intéressante. La moyenne d'une distribution est

Les comparaisons et applications précédentes n'ont la prétention que d'exemples et de suggestions. Une fois définis ces canons stochastiques, le problème crucial demeure, d'appliquer ces variables aléatoires à des phénomènes musicaux. Il n'y a pas de limite à l'utilisation de variables stochastiques en musique. Par exemple, les points de la figure 23 pourraient bien être lus comme des listes de hauteurs sélectionnées sur un axe de fréquences, destinées à des développements ultérieurs. Les durées des sons attaqués aux points de cette même figure 23 pourraient être contrôlées par quelque distribution symétrique à mode central, ou éventuellement par des distributions asymétriques aussi, mais chaque fois différentes de celles générant les intervalles entre les attaques, etc.

Au-delà de ces applications directes et statiques, il est possible de concevoir des mécanismes de transitions -- stochastiques elles-mêmes, éventuellement -- entre différentes distributions ; ou encore des méthodes de contrôle stochastique des paramètres de distributions, qui exploiteraient plusieurs niveaux d'interdépendance, etc.

Si la théorie des probabilités est bien une réponse à des problèmes de choix, il reste encore beaucoup à choisir... reste à faire face à la musique.

Remerciements

d.l.
Paris, Montréal
10/79-6/80

Figures

Figure 20 - Histogramme de la distribution normale Quelques caractéristiques importantes sont représentées. Les pourcentages sont de la surface sous f(x). ([22a]), p.178).

Ouvrages musicaux et généraux

1. Xenakis, Iannis. Musiques formelles, La revue musicale n° 253-254, Richard-Masse, Paris, 1963.
2. Xenakis, Iannis. Musique, architecture, coll. Mutations-orientations n°11, Casterman, 1971.
3. Xenakis, Iannis. Formalized Music, Indiana University Press, Bloomington, Ind., 1971 .
4. Koeniq, G. M. Observations on Compositional Theory, Instituut voor Sonologie, Utrecht, 1971.
5. Koenig, G. M. Computer Composition, Instituut voor Sonologie, Utrecht.
6. Charles, Daniel. Gloses sur John Cage, coll. 10-18 n°1212, U.G.E., Paris, 1978.
7. Revault d'Allonnes, Olivier. La création artistique et les promesses de la liberté, Klincksieck, Paris, 1973.
8. Kaegi, Werner. « Musique et technologie dans l'Europe de 1970 », Musique et technologie, La revue musicale n°268-269, Richard-Masse, Paris, 1971, pp. 9-30.
9. Piaget, Jean. Le développement de la notion de temps chez l'enfant, Presses universitaires de France, Paris, 1973.
10. Russolo, Luigi. L'art des bruits coll. Avant-gardes, L'âge d'homme, Lausanne, 1975

    Canons

11. Knuth, D. E.. The Art of Computer Programing, vol. II, Addison Wesley Publ. C°, Reading, Mass., 1969.
12. Maurin, J.. Simulation déterministe du hasard, Masson, Paris, 1975.
13. Hamming, R. W.. Numerical methode for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, 1973.
14. Scientific Subroutine Package (S. S. P.), I. B. M. Corporation
15. Schrage, Linus. « A More Portable Fortran Random Number Generator », ACM Transactions on mathematical Software, vol. 5 n°2, pp.132sq.
16. Hastings Jr., C.. Approximations for Digital Computers, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1955.
17. Jöhnk, M. D.. « Erzeugung von betaverteilten und gammaverteilten Zufallzahlen », Metrika, vol. 8 fasc.1, 1964, pp.5-15.

    Théorie des probabilités

18. Vessereau, A.. La statistique, coll. Que sais-je n° 281, P.U.F., Paris, 1979.
19. Gnedenko, B. V. et Khintchine M. La.. Introduction à la théorie des probabilités, coll. Science-poche n°9, Dunod, Paris, 1969.
20. Jacquard, P.. Les probabilités, coll. Que sais-je n° 1571, P.U.F., Paris, 1976.
21. Calot, G.. Cours de calcul des probabilités, Dunod, Paris, 1976.
22. a. Feller, William. An lntroduction to Probability Theory and its Applications, vol. II, John Wiley, N.Y., 1968.
    b. Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. II, John Wiley, N.Y., 1971

    Théorie des probabilités

23. Kleppner, Daniel et Ramsey, Norman. Calcul différentiel et intégral rapide, Entreprise moderne d'édition, Paris, 1968.
24. Guénon, René. Les principes du calcul infinitésimal, Gallimard, Paris, 1946.
25. Grossman, Israël et Magnus , Wilhelm. Les groupes et leurs graphes, Dunod, Paris, 1971.

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